 Vissza
akezdőlapra |
Matematika érettségi tételek
1. Mit értünk két, vagy több szám közös osztóján; hogyan
határozhatjuk meg?
Két, vagy több szám közös osztója az a legnagyobb egész szám,
amely az adott számok mindegyikének osztója, azaz maradék
nélkül meg van bennük.
A legnagyobb közös osztót úgy állítjuk elő, hogy a számokat
prímhatványok szorzatára bontjuk, és azokat a prímszámokat,
amelyek mindegyik számban szerepelnek, az előforduló legkisebb
hatványkitevőre összeszorozzuk. Például:
360 =2^3*3^2*5
980 =2^2*5*7^2
1200 =2^4*3*5^2
E három szám legnagyobb közös osztója: 2^2*5 =20
Magyarázat: Azért 2^2, mert a kettes hatványai mindegyik
számban szerepelnek, de a legkisebb hatványon a 980-ban. Az
5-ös is mindegyikben szerepel, s a legalacsonyabb hatványon az
1-es kitevővel a 360-ban, és a 980-ban, s a 7-es hatvány csak
a 980-ban, a másik kettőben nem, s így nem közös osztó.
2. Mit értünk két, vagy több szám legkisebb közös
többszöröseként; hogyan határozhatjuk meg?
Két, vagy több szám legkisebb közös többszöröse az a legkisebb
pozitív egész számm, amely az adott számok mindegyikének osztója.
A számokat prímhatványok szorzatára bontjuk, és a bennük
szereplő összes prímmtényezőt az összes előforduló legmagasabb
hatványkitevőre emelve összeszorozzuk. Egyszerűen: a számok
mindegyikét összeszorozzuk, és elosztjuk a legnagyobb közös osztóval.
3. Milyen számot nevezünk prímszámnak? Mikor mondjuk, hogy
két, vagy több szám relatív prím?
A pozitív egész számokat osztóik száma szerint három csoportba
sorolhatjuk: 1. Egy osztója van: ebből csak egy szám van, az
1-es. 2. Kettő darab osztója van [1, és önmaga]: ezek a prím,
vagy másnéven törzsszámok. 3. Kettőnél több osztója van: ezek
az összetett számok. Prímszámok előállítására szolgál a
"Eratosztenész-féle szita". Euklides bebizonyította, hogy végtelen sok prímszám
van, s az is bizonyítható, hogy bármilyen "hézagok" is
lehetnek a prímszámok között. Két, vagy több egész szám
relatív prím, ha az 1-en kívül nincs más közös osztója, azaz a
legnagyobb közös osztójuk az 1. Két szám akkor is lehet
relatív prím, ha összetett, például a 6, és a 35.
Az Eratosztenész-féle szita azt jelenti, hogy a felsorolt
számok közül [1-től valameddig] kihúzgálom azokat, amelyek
2-vel, 3-mal, n-nel oszthatók, s amelyek nem lettek kihúzva,
azok a prím számok.
Példaként 100-ig írjuk fel a számokat, s elkezdjük
kihuzogatni a 2-vel oszthatóakat, 3-mal oszthatóakat, stb., s
csak a 10-ig kell elmennünk, mivel a 10 négyzete adja ki a
százat, és ennek megfelelően amit nem húztunk ki, azok mind
prím számok.
4. Mit jelent az, hogy a valós számokra értelmezett összeadás,
és szorzás kommutatív, asszociatív, ill. a szorzás az
összeadásra nézve disztributív?
Az összeadás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós
számra igaz az, hogy (a +b =b +a) az összeadandók felcserélhetők.
A szorzás kommutatív tulajdonsága: minden A, és B valós számra
igaz az, hogy (a*b =b*a) a szorzat értéke nem fog
megváltozni, ha a tényezőket felcseréljük.
Az összeadás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós
számra igaz az, hogy ((a +b) +c =a +(b +c)) csoportosíthatunk
[átzárójelezhetünk], az összeg értéke nem változik.
A szorzás asszociatív tulajdonsága: minden A, B, C valós
számra igaz, hogy ((a*b)*c =a*(b*c)) átcsoportosítható, s a
szorzat értéke nem fog megváltozni.
A szorzás az összeadásra nézve disztributív, mely azt jelenti
az A, B, C valós számokra, hogy ((a +b)*c =a*c +b*c) összeget
tagonként is szorozhatunk [felbontjuk a zárójeleket].
5. Definiálja az egyenes- és fordított arányosság fogalmát!
Két mennyiség kapcsolatát egyenes arányosságnak mondjuk, ha az
egyik mennyiséget akárhányszorosára változtatva a másik
mennyiség is ugyanannyiszorosára változik.
Az egyenes arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt
képez a valós számok halmazára. [H a valós számok egy részhalmaza.]
fx= ax, ahol az a. az egy [nem nulla] valós szám.
Ha a H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor az
egyenes arányosságot megadó függvény grafikonja az origón
átmenő egyenes. Ha az egyenesen arányos mennyiségek hányadosa állandó, és
az összetartozó értékek hányadosa állandó. Az egyenes
arányosságra példa az út-idő grafikon: ha hosszabb ideig megy
ugyanolyan sebességgel egy tárgy, akkor arányosan több utat
fog megtenni.
Két mennyiség kapcsolatát fordított arányosságnak mondjuk, ha
az egyik mennyiséget akárhányszorosára növelve, a másik
mennyiségnek ugyanannyiad részére kell csökkennie. A fordított
arányosság olyan F függvény, amely egy H halmazt képez a valós
számok halmazára, s a H halmaz a valós számok részhalmaza.
fx =c /x [c<>0, és valós. Az x sem lehet 0, mert nevezőben nem
állhat 0.]
Ha H halmaz megegyezik a valós számok halmazával, akkor a
függvény grafikonja hiperbola. Az összetartozó értékpárok
szorzata állandó. Fordított arányosságra példa a Boil-Mariott
törvény, ami a gázok nyomása, és térfogata közti viszonyt
mondja, a térfogat, és a nyomás szorzata állandó, azaz ha
csökken a térfogat, növekszik a nyomás, ill. ha növekszik a
térfogat, csökken a nyomás. [Természetesen ugyanarról a
mennyiségű gázról van szó, és nem változik a bentlévő
molekulák száma.]
9. Definiálja a racionális szám fogalmát!
Racionális számok a két egész szám hányadosaként megadható
számok. Ezek p /q alakba felírhatóak, ahol p, és q egész
számok, s nyilvánvaló, hogy q<>0, mert nevezőben nem állhat 0.
Minden racionális szám végtelen sok módon adható meg tört
alakban, egyetlen szám különböző törtalakjai egymásból
egyszerűsítéssel, vagy bővítéssel nyerhetők.
Pl.: 2/3 =4/6 =6/9 =-2/-3...
Egy racionális szám legegyszerűbb törtalakja az a tört, amely
tovább nem egyszerűsíthető, tehát a számlálója, és a nevezője
relatív prím. A szóbanforgó racionális szám egész szám, ha a
legegyszerűbb törtalakjának nevezője 1. Racionális számok
tizedestört alakja véges, ilyenkor a legegyszerűbb
törtalakjának a nevezője olyan szám, amelynek a prím tényezői
között kettőn, és ötön kívül más prímszám nem szerepel, vagy
szakaszos, végtelen tizedestört, s a szakasz kevesebb
számjegyből áll, mint amennyi a tört nevezője. Minden
racionális szám felírható véges, vagy végtelen szakaszos
tizedestört formájában, ill. minden olyan tizedestört,
amelyik véges, vagy végtelen szakaszos, az átírható közönséges
tört formájába. [A végtelen szakaszos tizedestörtek átírásáról
bővebben a mértani sorozatnál lesz szó!]
10. Mi a számelmélet alaptétele?
Minden 1-től különböző pozitív egész szám felbontható
prímszámok szorzatára. Ez a felbontás a tényezők sorrendjétől
eltekintve egyértelmű. Az 1-et azért nem vesszük a prímszámok
közé, mert akkor nem lehetne a számokat a sorrendtől
eltekintve egyértelműen prímtényezőkre bontani. Pl.: 6 =2*3
=1*2*3 =1*1*2*3 [végtelen 1-es szorzót is hozzávehetünk, de
akkor már nem egyértelmű a felbontás.]
19. Mit nevezünk egyenletnek? Mi az egyenlet igazsághalmaza? Mikor
mondjuk, hogy két egyenlet equivalens?
Egyenlet: bármely két [egyenlőségjellel] összekötött kifejezés.
A kifejezésekben szereplő változók az ismeretlenek.
Az egyenlet olyan speciális nyitott mondat, amelynek az
alaphalmaza [vagy értelmezési tartománya] számhalmaz.
[A nyitott mondat változótól függő állítás.]
Az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekre az egyenlet
igaz, az egyenlet igazsághalmaza [vagy megoldáshalmaza].
Két egyenlet equivalens, [egyenértékű], ha azonos
alaphalmazon oldjuk meg, és az igazsághalmazuk is megegyezik.
21. Mit értünk a másodfokú egyenlet diszkriminánsán?
A másodfokú egyenlet (a*x^2 +b*x +c =0 [ahol A nem 0])
diszkriminánsa a gyök alatti mennyiség (b^2 -4*a*c).
Ez határozza meg az egyenlet gyökeinek a számát: ha a
diszkrimináns nagyobb, mint 0, akkor az egyenletnek két valós
gyöke van, ha diszkrimináns egyenlő nullával, akkor az
egyenletnek egy valós gyöke van, és az ({-b /2*a}). Ezt
kétszeres gyöknek is szoktuk nevezni, s ekkor az (x1 =x2)-vel,
és a gyöktényezős alak így írható a*((x -x1)^2) =0
Ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla, akkor az egyenletnek
nincs valós gyöke, nem tudjuk megoldani a valós számok halmazán.
15. Mit nevezünk egy valós szám normál alakjának? Írjuk fel a
következő számok normál alakját:
0.000173, 582000000, 78/582.
A pozitív valós szám normál alakja olyan két tényezős szorzat,
amelynek az egyik tényezője 1, vagy 1-nél nagyobb, de 10-nél
kisebb valós szám, a másik tényezője 10-nek az egész kitevős hatványa.
Avagy: olyan szám, ami 1-nél nagyobb, vagy egyenlő, és 10-nél kisebb.
Negatív valós szám normál alakja: olyan két tényezős szorzat,
amelynek az egyik tényezője -1, vagy -1-nél kisebb, de -10-nél
nagyobb szám, a másik tényezője pedig 10-nek az egész kitevős hatványa.
[A nullát nem lehet a fentiekhez hasonló módon megadni!]
0.000173 =1.73*10^-4
582000000 =5.82*10^7
78/582 =[tizedestörtben] 0.1342 =1.342*10^-1
81. Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak szükséges és
elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen?
Az A és b vektor skaláris szorzata:
a*b =|a|*|b|*cos(epszilon)
Ahol epszilon a két vektor hajlásszögét jelöli, vagyis
0 <=epszilon <=180 fok.
Ha epszilon <90 fok [vagyis hegyes szög], akkor (a*b) pozitív.
Ha epszilon >90 fok [vagyis tompa szög], akkor (a*b) negatív.
Ha a két vektor közt a nulvektor is szerepel, akkor a hajlásszög
nincs egyértelműen meghatározva, de a nul vektor abszolútértéke
0, ezért a szorzat ekkor 0.
Ezek szerint a skaláris szorzat mindig egyértelműen meghatározott.
Ha A merőleges b-re, akkor
a*b =|a|*|b|*cos(90) =|a|*|b|*0 =0, vagyis a skaláris
szorzatok 0.
Megfordítva:
ha (a*b =0), és az (a*b) vektorok egyike sem 0, akkor (|a| <>0), és
(|b| <>0), így (a*b =|a|*|b|*cos(epszilon) =0) csak úgy állhat
fenn, ha (cos(epszilon) =0), tehát A merőleges b-re.
Eszerint két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha
a két vektor merőleges egymásra. [a nulvektort úgy tekintjük,
hogy minden vektorra merőleges.]
A skaláris szorzat definíciójából nyílvánvaló, hogy a skaláris
szorzat kommutatív: a*b =b*a.
Az ((a*b)*c) egy c irányvektor, az (a*(b*c)) pedig egy A irányvektor, a skaláris szorzat tehát nem asszociatív.
100. Bizonyítsa be, hogy az első n pozitív egész szám négyzetösszege n*(n +1)*(2*n +1) /6!
[Teljes indukcióval bizonyítunk.]
Az összefüggés (n =1)-re igaz: 1*2*3 /6 =1.
Tegyük fel, hogy (n -1)-re igaz, és bizonyítsuk be, hogy
(n -1)-ről n-re öröklődik.
A feltevés szerint: 1^2 +2^2 +... +(n -1)^2 =(n -1)*n*(2*n -1) /6.
Az egyenlőség mindkét oldalához n^2-et adunk:
1^2 +2^2 +... +(n -1)^2 +n^2 =n*(n -1)*(2*n -1) /6 +n^2.
A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva,
majd szorzattá alakítva:
n*(2*n^2 -3*n +1) +6*n^2 /6 =n*(2*n^2 +3n +1) /6 =nz*(n +1)*(2*n +1) /6,
ami épp a bizonyítandó állítás.
Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz,
mert 1-ről 2-re, arról 3-ra, ... öröklődik; 1-re pedig
beláttuk, hogy az összefüggés valóban igaz.
101. Egy számtani sorozat első eleme a1, különbsége d.
Bizonyítsa be, hogy an =a1 +(n -1)*d és sn =n*a1 +an /2!
A számtani sorozat olyan számsorozat, amelyben [a másodiktól
kezdve] bármelyik elem és a közvetlen előtte álló elem
különbsége állandó. a sorozat n -edik tagja:
an =a1 +(n -1)*d, mivel a1-től (n -1) lépésben jutunk el an-ig, és
mindegyik lépésben d -t adunk az előző taghoz.
sn =a1 +a2 +... +an.
Az egyes tagokat a1 segítségével fölírva:
sn =a1 +(a1 +d) +(a1 +2*d) +... +a1 +(n -2) -d +a1 +(n -1)*d.
Az összeget (an segítségével) fordított sorrendben is felírjuk:
sn =an +(an -d) +(an -2*d) +... +an -(n -2)*d +an -(n -1)*d.
A két összegben a d-t tartalmazó tagok páronként egymásnak
ellentettjei. Az egyenlőségek megfelelő oldalait összeadva a d-t
tartalmazó tagok rendre kiesnek:
2sn =a1 +an +a1 +an +... +a1 +an =n*(a1 +an). így:
sn =n*(a1 +an) /2.
105. Mit ért egy függvény értelmezési tartományán, ill. értékkészletén?
A függvény definíciója:
Adott egy A és B halmaz. Egy f függvény az A halmaz minden x
eleméhez a B halmaznak pontosan egy f(x) elemét rendeli.
Az A halmaz az f függvény értelmezési tartománya. A B halmaznak
azok az elemei, amelyek a hozzárendelésnél föllépnek [vagyis az
f(x) értékek] alkotják az f függvény értékkészletét. Az
értékkészlet lehet B halmaznál szűkebb.
Az értelmezési tartomány és az értékkészlet egybe is eshet, pl. a
valós számokon értelmezett értékű függvények között vannak
olyanok, amelyeknek az értelmezési tartománya és az
értékkészlete egyaránt a valós számok halmaza.
1
110. Mikor mondjuk egy függvényről, hogy:
A. periódikus?
B. páros?
C. páratlan?
D. korlátos?
A. Az f függvény periódikus, ha van olyan (c >0) valós szám, hogy az
értelmezési tartománya minden x elemére (f(x +c) =f(x)) teljesül,
ahol, ha x eleme a függvény értelmezési tartományának, akkor
(x + -c) is.
Periódikus függvény például a trigonometrikus függvények és a
"törtrész"-függvény [x-et rendeljük a x törtrészéhez függvény].
B. Az f függvény páros, ha az értelmezési tartomány minden x
elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és f( -x) =f(x).
Páros függvények például a páros kitevőjű hatványfüggvények:
x-et rendeljük a |x|-hez, x-et rendeljük a cos(x) függvényhez.
A páros függvény grafikonja [amennyiben megrajzolható]
szimetrikus az ipszilon tengelyre.
C. Az f függvény páratlan, ha az értelmezési tartomány minden x
elemével együtt -x is eleme az értelmezési tartománynak, és
(f( -x) = -f(x)).
Páratlan függvényre példa: a páratlan kitevőjű
hatványfüggvények, az x-et rendeljük a (c /x)-hez, és x-et
rendeljük a sin(x)-hez.
A páratlan függvények grafikonja [amennyiben megrajzolható]
szimetrikus az origóra.
D. Az f függvény korlátos, ha van egy olyan K szám, hogy az
értelmezési tartomány minden x elemére (|f(x)| <=K).
Korlátos függvényekre példa: x-et rendeljük sin(x)-hez, x-et
rendeljük cos(x)-hez és x-et rendeljük {x}-hez.
57. Fogalmazza meg a párhuzamos szelők tételét és a tétel megfordítását!
Párhuzamos szelők tétele:
Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metszük, akkor az
egyik száron keletkező szakaszok aránya megegyezik a másik
száron keletkező megfelelő szakaszok arányával.
A tétel egy speciális esetének megfordítása:
Ha egyenesek egy szög két szárából olyan szakaszokat vágnak le,
amelyek aránya mindkét száron ugyan az, akkor az egyenesek párhuzamosak.
Általános esetben nem fordítható meg a tétel, csak akkor, ha a
szakaszok a szög cscsától kezdve és egymáshoz csatlakozva
helyezkednek el.
59. Mikor mondjuk két síkidomról, hogy hasonlók? Sorolja fel a
háromszögek hasonlóságának alapeseteit!
Két alakzat hasonló:
Ha van olyan hasonlósági transzformáció, amely az egyik
alakzathoz a másikat rendeli.
Hasonlósági transzformáció:
Véges sok középpontos hasonlóság és véges sok egybevágósági
transzformáció egymásutánja.
Bizonyítható, hogy két háromszög hasonló, ha megfelelő
oldalainak aránya páronként egyenlő
ha két -két megfelelő oldaluk aránya és az ezek által közbe zárt
szögeik egyenlők.
Ha két-két szögük páronként megegyezik.
Ha két-két megfelelő oldaluk aránya és a nagyobb oldalakkal
szemközt lévő szögeik egyenlők.
66. Hogyan értelmezzük a hegyes szögek szögfüggvényeit?
Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyeknek az egyik
hegyes szöge alfa, ezek a derékszögű háromszögek - mivel két
megfelelő szögük, alfa és a derékszög, egyenlő - mind hasonlók egymáshoz.
Ezért ezekben a háromszögekben a megfelelő oldalak aránya
egyenlő. Ezek az arányok csak az alfa szögtől függnek, így
ezeket az arányokat szögfüggvényeknek nevezzük.
Az alfa szöget tartalmazó tetszőleges derékszögű háromszögben az
egyes szögfüggvényeket, sin(alfa)-t, cos(alfa)-t,
tan(alfa)-t, ctg(alfa)-t így értelmezzük:
sin(alfa) =a /c [az alfa szöggel szemközti befogó / az átfogó]
cos(alfa) =b /c [az alfa szög melletti befogó / az átfogó]
tan(alfa) =a /b [az alfa szöggel szemközti befogó / az alfa szög
melletti befogó]
ctg(alfa) =b /a [az alfa szög melletti befogó / az alfa szöggel
szemközti befogó]
(sin(alfa) =a /c)-ből (a =c*sin(alfa)), vagyis a szög szinusza
megmutatja, hogy az alfa szöggel szemközti befogó hányszorosa az
átfogónak.
Hasonlóan átfogalmazható a többi szögfüggvény is.
149. Bizonyítsa be, hogy a különböző elem k -ad osztáj variációinak
száma n faktoriális / (n -k) faktoriális!
Adott n különböző elem, válasszunk ki közülük k-t (k <=n), és
vegyük a kiválasztott k elem egy sorrendjét. gy az n elem egy
k-ad osztáj variációját nyerjük.
Az összes kiválasztott k -as összes lehetséges sorrendjének a
száma az n elem összes k -ad osztály variációinak száma.
Ennek bebizonyítására vegyünk egy k rekeszes dobozt!
Ebben helyezzük el n elem közül k elemet minden lehetséges módon:
n féleképp, (n -1) féleképp, ...,(N -k +1) -féleképp.
Az első rekeszbe az n elem bármelyike tehető. A második rekeszbe
már csak (n -1) elem közül választhatunk [egy elem ugyanis már az
első rekeszben van]. Ez (n -1) féle kitöltési lehetőséget ad a
második rekesz számára. Az első két rekeszbe így (n*(n -1))
féleképpen tehetők az elemek. Minden rekeszbe egyel kevesebb
elem közül választhatunk, mint az előzőbe. A k-adik rekeszbe
(n -k +1) elem közül választunk.
A doboz teljes kitöltésére összesen (n*(n -1)*...*(N -k +1))
lehetőség adódik. Ha az eredményt (n -k) faktoriálissal bővítjük,
faktoriális jelöléssel is fölírhatjuk: n*(n -1)*...*(N -k +1) =n*(n -1)*...*(N -k +1)*(n -k)*(n -k -1)*...*2*1 /(N -k)*(n -k -1)*...*2*1 =Nfaktoriális /(n -k)faktoriális.
159. Határozza meg egy véges halmaz részhalmazainak számát!
Egy n elemű halmaznak 2^n szám különböző részhalmaza van.
Bizonyítása:
tekintsük az (a ={{a1,a2,...,An}}) halmazt!
Egy részhalmazt megadhatunk oly módon, hogy az a1,a2,...,aN
elemekről rendre megmondjuk, hogy benne vannak-e a
részhalmazban, vagy sem. Ennek alapján az A halmaz részhalmazait
megfeleltetjük 0 és 1 számjegyekből álló n tagu
számsorozatoknak: a k-adik helyre aszerint írunk 0-át vagy 1-et,
hogy a(k) benne van-e a részhalmazban. Ha nincs benne, 0-át; ha
benne van, 1-et írunk.
Ez a megfeleltetés kölcsönösen egyértelmű, így pontosan annyi
részhalmaza van az A halmaznak, mint ahány 0-ákból és 1-esekből
álló n tagu számsorozat van. Minden hely kitöltésére egymástól
függetlenül 2 lehetőségünk van [0-át vagy 1-et írhatunk]. gy a
lehetőségek száma 2^n.
160. Mit nevezünk gráfnak? Mi az n pont teljes gráf? Mi az egyszerű
gráf? Mi az összefüggő gráf?
Ha véges sok adott pont közül egyeseket vonallal összekötünk,
akkor a kapott ábrát gráfnak nevezzük. A pontok a gráf pontjai
vagy szögpontjai, a vonalak a gráf élei.
Ha egy gráfnak n pontja van [n pozitív egész szám], és
mindegyik pontból pontosan 1 él vezet a többi ponthoz, akkor a
gráfot n pont teljes gráfnak nevezzük.
A gráfokban előfordulhat olyan él is, amelynek mindkét végpontja
ugyanaz a pont. Az ilyen él neve hurok. Két cscsa között több
élt is hzhatunk, ezek a többszörös élek.
Egy gráfot egyszerűnek nevezünk akkor, ha nincs benne sem hurok,
sem többszörös él.
A gráf összefüggő, ha bármely pontjából bármely másik pontjába
élek mentén el lehet jutni.
84. Mit ért egy alakzat egyenletén?
Egy alakzat egyenlete olyan egyenlet, amelynek megoldáshalmaza
az alakzat pontjainak koordinátáiból áll; vagyis olyan egyenlet,
amelyet az alakzat minden pontjának koordinátái kielégítenek,
más pontok koordinátái viszont nem.
92. Adja meg két egyenes párhuzamosságának, illetve merőlegességének
- a koordinátageometriában használatos - szükséges és elégséges feltételét!
Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha irányvektoraik,
illetve normálvektoraik párhuzamosak, vagyis egymásnak skalárszorosai.
Ha az egyeneseknek van iránytangensük, vagyis nem párhuzamosak
az y tengellyel, akkor a párhuzamosságnak szükséges és
elégséges feltétele, hogy a két egyenesnek az iránytangense [m1
és m2] egyenlő legyen: m1 =m2.
Két egyenes akkor és csak akkor merőleges egymásra, ha
irányvektoraik illetve normálvektoraik merőlegesek egymásra,
vagyis irányvektoraik, illetve a normálvektoraik skaláris
szorzata 0. Ha mindkét egyenesnek van iránytangense [m1 és m2],
akkor a merőlegesség szükséges és elégséges feltétele, hogy
iránytangenseik szorzata -1 legyen: m1*m2 =-1.
93. Bizonyítsa be, hogy a C(u,v) középpont, r sugaru kör
egyenlete ((x -u)^2 +(y -v)^2 =r^2)!
A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a körön, ha távolsága a
C(u,v), középponttól, r.
A bizonyításhoz felhasználjuk a két pont távolságát megadó képletet.
24. Mit ért
A. Pont és egyenes távolságán?
B. Párhuzamos egyenesek távolságán?
C. Pont és sík távolságán?
D. Párhuzamos síkok távolságán?
A. Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsájtott
merőlegesnek a pont és egyenes közötti szakasza hosszát értjük.
B. Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely
pontjából a másik egyenesre bocsájtott merőlegesnek a két
egyenes közötti szakaszának hosszát értjük.
C. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott
merőlegesnek a pont és sík közötti szakaszának a hosszát értjük.
D. Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a
másik síkra bocsájtott merőleges - két sík közötti szakaszának -
hosszát értjük.
25. Mit ért két kitérő egyenes távolságán?
Egyetlen olyan egyenes van, amely két kitérő egyenes
mindkettőjét merőlegesen metszi. Ezt az egyenest szokták a két
kitérő egyenes normál transzverzálisának nevezni.
Két kitérő egyenes távolsága a normál transzverzálisuknak az
egyenesek közé eső szakaszának hossza. Ha két kitérő egyenes
mindegyikére másikkal párhuzamos síkot fektetünk, akkor az így
kapott két sík távolsága egyenlő a két kitérő egyenes távolságával.
Az e és az f kitérő egyenesek transzverzálisát gy is
megkaphatjuk, hogy az e egyenesen át az f-fel párhuzamos síkot
helyezünk el, majd f-en át merőleges síkot állítunk az előbbi
síkra. Ezután a két sík metszésvonalának az e egyenessel való
metszéspontjában az első síkra merőlegest állítunk. Ez a
keresett egyenes.
26. Mit ért
A. Egyenes és sík hajlásszögén?
B. Két sík hajlásszögén?
A. Egy, a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a
sík minden egyenesére. Ha az e egyenes nem merőleges a síkra,
akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egyenes
(e'). Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az
egyenes és a vetület hajlásszögét értjük. Bizonyítható, hogy ez
a szög a legkisebb az e egyenes és a sík egyenesei által bezárt
szögek között.
B. Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk
egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a
metszésvonalra. A két sík hajlásszöge a két merőleges
hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független.
Megkaphatjuk ezt a szöget gy is, hogy a metsző síkokat 1, a
metszésvonalakra merőleges síkkal elmetszük. Ez a sík az eredeti
két síkból egy-egy egyenest metsz ki. Ezek hajlásszöge a két sík
hajlásszöge.
27. Mit ért két kitérő egyenes hajlásszögén?
Két kitérő egyenes hajlásszöge a tér egy tetszőleges pontján
átmenő, és az adott egyenesekkel párhuzamos egyenesek
hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független.
33. Határozza meg a következő ponthalmazokat:
A. Két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a
síkban és a térben.
B. Két adott egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a
síkban.
A. Két adott ponton [P-től és Q-tól] egyenlő távolságra lévő
pontok halmaza a síkban a P-Q szakasznak az adott síkra
illeszkedő felezőmerőleges egyenese.
A P-től és a Q-tól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a
térben a P-Q szakasz felezőmerőleges síkja.
Ez a sík átmegy a P-Q szakasz F felezőpontján, és merőleges a
P-Q szakaszra.
Ez azt jelenti, hogy a felezőmerőleges sík valamely egyenese
merőleges a P-Q szakaszra.
B. Ha két adott egyenes párhuzamos, akkor az egyenesektől
egyenlő távolságra lévő pontok halmaza olyan egyenes, amely a
két adott egyenessel párhuzamos, és távolságukat felezi. Ha a
két egyenes [e és f] metszi egymást, akkor az egyenesektől
egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az általuk bezárt szögek
szögfelező egyenesei.
94. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk parabolának?
A parabola azon pontok halmaza a síkban, amelyek 1, a síkban
adott ponttól és 1 - az adott pontra nem illeszkedő egyenestől
egyenlő távolságra vannak. Az adott pont a parabola
fókuszpontja, az adott egyenes a parabola vezéregyenese
[direktrixe]. A vezéregyenes és a fókuszpont távolsága a
parabola paramétere (p). A parabolát a paramétere egyértelműen
meghatározza, így a parabolák hasonlók egymáshoz.
96. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk elipszisnek?
Az elipszis azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a
sík két adott pontjától mért távolságszöge állandó, és ez az
állandó nagyobb mint a két adott pont távolsága. Az adott pontok
[F1 és F2] az elipszis fókuszpontjai. Az adott távolság az
elipszis nagytengelye. Az F1-F2 szakasz felezőmerőlegesének az
elipszis tartományába eső szakasza az elipszis kistengelye.
98. Milyen tulajdonság ponthalmazt nevezünk hiperbolának?
A hiperbola azoknak a síkbeli pontoknak a halmaza, amelyeknek a
sík két adott pontjától mért távoolságkülönbségének
abszoltértéke állandó, és ez az állandó kisebb, mint a két
adott pont távolsága. Az adott pontok [F1 és F2] a hiperbola
fókuszpontjai, az adott távolság a hiperbola főtengelye.
152. Adjon meg különféle jelölésekkel három halmazt! Mikor egyenlő
két halmaz?
A halmaz a matematikában alapfogalom. Két halmazt akkor
tekintünk egyenlőnek, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák.
Halmazt megadhatunk gy, hogy felsoroljuk az elemeit.
Pl.: A={{1,3,5,7,9}}
Megadhatunk halmazt egy alaphalmazzal, és egy tulajdonsággal
gy, hogy a halmazba az alaphalmaznak azok az elemei tartoznak,
amelyekre igaz a tulajdonság.
Pl.: R+={{x eleme R és x >0}}, P={{n eleme N+ és n prím}}
153. Legyen A és B két tetszőleges halmaz. Mikor mondjuk, hogy A
részhalmaza B-nek?
Az A halmaz részhalmaza [része] a B halmaznak, ha az A halmaz
minden eleme egyben a B halmaznak is eleme. A részhalmaza B-nek,
és B-nek nincs A-hoz nem tartozó eleme
29. Osztályozza a síknégyszögeket
A. Az oldalak párhuzamossága,
B. Az oldalak egyenlősége szerint!
A. Az oldalak párhuzamossága szerint:
Van két párhuzamos oldaluk: Trapézok.
Az olyan trapézok, amelyeknek a párhuzamos oldalakra merőleges
szimetriatengelyük van: A szimetrikus trapézok.
Azok, amelyeknek két-két oldaluk párhuzamos: Paralelogrammák.
B. Az oldalak egyenlősége szerint:
Két-két szemközti oldaluk egyenlő hosszság: Paralelogrammák.
Köztük azok, amelyeknek minden oldaluk egyenlő: Rombuszok.
Két-két szomszédos oldaluk egyenlő hosszság: Deltoidok.
30. Milyen négyszöget nevez hrnégyszögnek, illetve érintőnégyszögnek?
hrnégyszögnek nevezzük az olyan négyszöget, amelyhez van olyan
kör, amely áthalad a négyszög négy cscsán. Ezt röviden így is
mondjuk: A négyszög köré írható kör. Igazolható, hogy bármely
hrnégyszög két szemközti szögének összege 180 fok, és fordítva:
Ha egy négyszög két szemközti szögének összege 180 fok, akkor
az hrnégyszög.
Érintőnégyszögek azok a konvex négyszögek, melyeknek oldalai egy
kör érintői. Igazolható, hogy bármely érintőnégyszögben a
két-két szemközti oldal hosszságának összege egyenlő; és
fordítva, ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal
hosszságának az összege egyenlő, akkor az érintőnégyszög.
Hrnégyszögek pl.: A szimetrikus trapézok.
Érintőnégyszögek pl: A rombuszok, a deltoidok.
A négyzet hrnégyszög is, érintőnégyszög is.
39. Bizonyítsa be, hogy egy síknégyszög akkor és csak akkor
érintőnégyszög, ha két-két szemközti oldalának összege egyenlő!
Érintőnégyszögek azok a konvex négyszögek, amelyeknek az oldalai
egy kör érintői.
A. Minden érintőnégyszögben két-két szemközti oldal hosszának
összege egyenlő.
B. Ha egy konvex négyszögben két-két szemközti oldal hosszának
összege egyenlő, akkor a négyszög érintőnégyszög.