Éettségi követelmények

· tud-e logikusan gondolkodni, rendelkezik-e megfelelő matematikai probléma- és feladatmegoldó, valamint absztrakciós, analizáló és szintetizáló képességgel;

· tud-e állításokat, egyszerűbb gondolatmenetű bizonyításokat szabatosan megfogalmazni, áttekinthető formában leírni;

· elsajátította-e a mindennapi életben használatos számolási technikákat, rendelkezik-e biztos becslési készséggel, az önellenőrzés igényével;

· képes-e statisztikai gondolatok megértésére, intelligens felhasználására, a függvény- vagy függvényszerű kapcsolatok felismerésére és értékelésére;

· képes-e a leírt síkbeli és térbeli szituációk elképzelésére, tud-e ezekhez ábrát készíteni, s ennek segítségével az adott konstrukcióban gondolkodni, számolni;

· képes-e a tanult ismereteket más tantárgyakhoz kapcsolódó feladatokban alkotó módon alkalmazni;

· képes-e hétköznapi szövegben rejlő matematikai problémákat észrevenni, egy-egy gyakorlati kérdés megoldásához matematikai modellt alkotni, különböző problémamegoldó stratégiákat alkalmazni;

· képes-e a különböző matematikai segédeszközök (függvénytáblázat, zsebszámológép) célszerű alkalmazására; a mindenkori tárgyi feltételek függvényében, azokkal szinkronban a matematikai eszközökkel való problémamegoldásban a programozható számológép, a grafikus kalkulátor és a számítógép használata fokozatosan követelménnyé válhat.

Az emelt szinten a felsoroltakon túl az érettségi vizsga célja annak mérése, hogy a tanuló

· rendelkezik-e a felsőfokú matematikai tanulmányokhoz szükséges alapokkal;

· képes-e hipotéziseket megfogalmazni, és sejtéseit bizonyított állításaitól megkülönböztetni;

· milyen szintű kombinatív készséggel rendelkezik, mennyire kreatív a gondolkodása;

· képes-e gondolatmenetében érthetően, világosan alkalmazni a matematikai modellalkotás lépéseit (probléma megfogalmazása, matematikai formába öntése, összefüggések keresése, az eredmények matematikai módszerekkel történő kiszámítása, igazolása, értelmezése);

· képes-e bemutatni a matematika belső szépségét és az emberi kultúrában betöltött szerepét.

Az ismeretek legnagyobb része a középszinten és az emelt szinten egyaránt megjelenik. Ezen ismeretek feldolgozásában az igényesebb felépítés, az összetettebb alkalmazás, nehezebb feladatok jellemzik az emelt szintet. A követelmények leírásában gyakran szereplő „szemléletes” jelző azt fejezi ki, hogy az adott fogalom matematikailag precíz ismerete nem követelmény. A matematika tanításában csak spirálisan lehet haladni, s így több téma, pl. az analízis – a felkészülésre fordítható idő alatt – a középiskolai tanulmányok végére is csak szemléletes formában tanítható meg, s csak bizonyos alkalmazásokat tesz lehetővé.

Témakör		Követelmények
1. Gondolkodási műveletek
	Halmazelmélet	Halmazelméleti alapfogalmak. Halmazműveletek, műveleti tulajdonságok. A halmazfogalom és a halmazműveletek használata a matematika különböző területein (pl. számhalmazok, ponthalmazok).
	Logika
	Logikai műveletek Bizonyítások a matematikában	A negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia ismerete, alkalmazása. A „minden”, „van olyan” logikai kvantorok ismerete, alkalmazása. Egyszerű matematikai szövegek értelmezése. A tárgyalt tételek pontos megfogalmazása. Tétel, tétel megfordítása. Szükséges és elégséges feltételek helyes alkalmazása.
	Kombinatorika	Permutációk, variációk, kombinációk. Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása.
	Gráfok	A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai. Gráfelméleti alapfogalmak.

Kombinatorika

Permutációk, variációk, kombinációk (ismétlés nélküli és ismétléses).

Kombinatorikai feladatok megoldása.
Binomiális tétel ismerete, alkalmazása.

Gráfok

A gráf szemléletes fogalma, alkalmazásai.

Gráfelméleti alapfogalmak.

2. Számelmélet, algebra

Számfogalmak

A valós számkör.

Alapműveletek, műveleti tulajdonságok ismerete, alkalmazása a valós számkörben.

Az adatok és az eredmény pontossága, számolások közelítő értékekkel.
Abszolútérték fogalma.
Számok normálalakja.

Számrendszerek, a helyiértékes írásmód.

Számelmélet

Osztó, többszörös, összetett szám fogalma.

A számelmélet alaptétele.

Számok prímtényezőkre bontása, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös.

Oszthatósági feladatok.

Diophantoszi egyenletek fogalma, egyszerűbbek megoldása.

Algebrai kifejezések, műveletek

Műveletek egyszerű algebrai kifejezésekkel.
Másod- és harmadfokú nevezetes azonosságok és alkalmazásuk.

szorzattá alakítása, alkalmazása.

Hatvány, gyök, logaritmus

Definíciók, műveletek, azonosságok (egész kitevőjű hatványok, racionális kitevőjű hatványok).

Irracionális kitevőjű hatvány szemléletes fogalma.

Logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságainak alkalmazása.

Különböző alapú logaritmusok.

Egyenletek, egyenlőtlenségek

Első- és másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása.

Paraméteres egyenletek.

Másodfokúra visszavezethető magasabb fokú egyenletek megoldása.
Az egyenletmegoldás alkalmazása szöveges feladatokban.
Gyökös, algebrai törtes, abszolútértékes és egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletek.
Egyszerű algebrai törtes, exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek.
A középértékek, nevezetes egyenlőtlenségek alkalmazása.

Többismeretlenes egyenletrendszerek.
Egy- és kétismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek.

3. Függvények, az analízis elemei

Függvények

A függvény matematikai fogalma, megadásának módjai.

Függvények grafikonjai, függvénytranszformációk

Az alapfüggvények (lineáris, másodfokú, hatvány- és gyökfüggvények, két lineáris függvény hányadosa, exponenciális és logaritmusfüggvény, trigonometrikus függvények, abszolútérték függvény) és egyszerű transzformáltjaik:

f(x) + c, f(x + c), c·f(x), f(c·x)

Egészrész-, törtrész- és előjelfüggvény.

Függvények jellemzése

Zérushely, növekedés, fogyás, korlátosság, szélsőérték, periodicitás, paritás, konvexitás.

Szélsőérték-feladatok megoldása.

Sorozatok

Számtani sorozat, mértani sorozat

ismerete és használata.
Kamatos kamat számítása.

Járadékszámítás.

Végtelen mértani sor fogalma, összege.

Racionális számok végtelen tizedes tört alakja.

Az analízis elemei

A határérték szemléletes fogalma.
A folytonosság szemléletes fogalma.
Differenciálhányados fogalma, geometriai jelentése.
A deriváltfüggvény alkalmazása (érintő egyenletének felírása, szélsőérték-feladatok, harmadfokú polinomfüggvények vizsgálata).
A kétoldali közelítés módszere, a határozott integrál szemléletes fogalma.
A primitív függvény fogalma.
A Newton-Leibniz-tétel.
Határozott integrál alkalmazása grafikon alatti terület számítására.

4. Geometria, koordináta-geometria, trigonometria

Alapfogalmak, ponthalmazok

Térelemek

Nevezetes ponthalmazok

Térelemek távolsága, szöge síkban és térben.

Szakaszfelező merőleges, szögfelező, kör, gömb, parabola, ellipszis, hiperbola.

Szakaszfelező merőleges sík, szögfelező sík.

Geometriai transzformációk

A geometriai transzformáció mint függvény.
Egybevágósági transzformációk ismerete, alkalmazása.
A hasonlósági transzformáció fogalma.

A merőleges vetítés fogalma.
Az egybevágóságra és a hasonlóságra vonatkozó ismeretek alkalmazása számításos és bizonyítási feladatokban.

Síkgeometriai alakzatok

Háromszögek

Négyszögek

Sokszögek

Kör

Tételek az oldalakra, szögekre, nevezetes pontokra, vonalakra, alkalmazásuk bizonyítási és szerkesztési feladatokban.
Thalész-tétel, Pitagorasz-tétel ismerete.
Arányossági tételek derékszögű háromszögben.

Nevezetes négyszögek (trapézok és deltoidok) és tulajdonságaik.

Szabályos sokszögek.

A kör részei.

Középponti és kerületi szög, látókör ismerete, alkalmazása.
A kör érintője.

Térbeli alakzatok

Henger, kúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp.

Kerület-, terület-, felszín- és térfogatszámítás

Egyszerű síkidomok és részeik kerülete, területe.

Háromszög területének különböző kiszámítási módjai.
Hasonló síkidomok területe.
Testek felszínének és térfogatának számítása.

Hasonló testek térfogata.

Vektorok

A vektor fogalma.

Vektorműveletek (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat) és tulajdonságaik.

Vektor koordinátái.
Vektorok alkalmazása.

Trigonometria

Szögfüggvények fogalma.
Nevezetes szögek szögfüggvényei.
Egyszerű összefüggések a szögfüggvények között, egyszerű trigonometrikus egyenletek.
Szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása.

Koordináta-geometria

Egyenes egyenlete.
Kör egyenlete.
Kör és egyenes kölcsönös helyzete.

Két kör kölcsönös helyzete.
A kör adott pontjába húzott érintőjének egyenlete.

A parabola egyenlete.

5. Valószínűségszámítás, statisztika
	Leíró statisztika	Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram). Gyakoriság, relatív gyakoriság. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz). Szórás. Átlagtól való eltérés 2–3 szórásnyi intervallumban.
	Valószínűségszámítás	Relatív gyakoriság, valószínűség. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma. A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. Visszatevéses mintavétel, a binomiális eloszlás, várható értéke és szórása. Visszatevés nélküli mintavétel, a hipergeometrikus eloszlás. Eseményalgebra. Események függetlensége.
	Matematikai statisztika	Statisztikai sokaság, paraméter, minta, relatív gyakoriság fogalma és kapcsolatuk. A relatív gyakoriság intervallum becslése. A közvélemény-kutatás elemei.

2. Számelmélet, algebra
	Számfogalmak		A valós számkör. Alapműveletek, műveleti tulajdonságok ismerete, alkalmazása a valós számkörben. Az adatok és az eredmény pontossága, számolások közelítő értékekkel. Abszolútérték fogalma. Számok normálalakja. Számrendszerek, a helyiértékes írásmód.
	Számelmélet		Az osztó, többszörös, prímszám, összetett szám fogalma. A számelmélet alaptétele, számok prímtényezőkre bontása, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Egyszerű oszthatósági feladatok.
	Algebrai kifejezések, műveletek		Műveletek egyszerű algebrai kifejezésekkel. Másod- és harmadfokú nevezetes azonosságok alkalmazása.
	Hatvány, gyök, logaritmus		Definíciók, műveletek, azonosságok (egész kitevőjű hatványok, racionális kitevőjű hatványok). A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben.
	Egyenletek, egyenlőtlenségek		Első- és másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása. Az egyenletmegoldás alkalmazása szöveges feladatokban. Egyszerű négyzetgyökös, algebrai törtes, abszolútértékes egyenletek. Egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenletek. Két pozitív szám számtani és mértani közepének viszonya. Kétismeretlenes lineáris és másodfokú egyenletrendszerek. Egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek.
3. Függvények, az analízis elemei
	Függvények		A függvény matematikai fogalma, megadásának módjai.
	Függvények grafikonjai, függvénytranszformációk		Az alapfüggvények (lineáris, másodfokú, hatvány- és gyökfüggvények, fordított arányosság, exponenciális és logaritmusfüggvény, trigonometrikus függvények, abszolútérték függvény) és egyszerű transzformáltjaik: f(x) + c, f(x + c), c·f(x), f(c·x) Egészrész-, törtrész- és előjelfüggvény.
	Függvények jellemzése		Zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás.
	Sorozatok		Számtani sorozat, mértani sorozat ismerete és használata. Kamatos kamat számítása.

4. Geometria, koordináta-geometria, trigonometria
	Alapfogalmak, ponthalmazok
	Térelemek Nevezetes ponthalmazok	Térelemek távolsága, szöge síkban és térben. Feladatok ponthalmazokra (pl. szakaszfelező merőleges, szögfelező, kör, parabola, gömb).
	Geometriai transzformációk	A geometriai transzformáció mint függvény. Egybevágósági transzformációk ismerete, alkalmazása. Középpontos hasonlóság, a hasonlósági transzformáció fogalma. Hasonló alakzatok tulajdonságai. Az egybevágóságra és a hasonlóságra vonatkozó ismeretek alkalmazása egyszerű feladatokban.
	Síkgeometriai alakzatok
	Háromszögek Négyszögek Sokszögek Kör	Tételek az oldalakra, szögekre, nevezetes pontokra, vonalakra – alkalmazásuk bizonyítási és szerkesztési feladatokban. Thalész-tétel, Pitagorasz-tétel ismerete, alkalmazása. Arányossági tételek derékszögű háromszögben. Nevezetes négyszögek (trapézok, deltoidok) és tulajdonságaik. Szabályos sokszögek. A kör részei. A kör érintője.



	Térbeli alakzatok	Henger, kúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp.
	Kerület-, terület-, felszín- és térfogatszámítás	Egyszerű síkidomok és részeik kerülete, területe. Hasonló síkidomok területe. Testek felszínének és térfogatának számítása. Hasonló testek térfogata.
	Vektorok	A vektor fogalma. Vektorműveletek (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás, skaláris szorzat) és tulajdonságaik. Vektor koordinátái. Vektorok alkalmazása.
	Trigonometria	Szögfüggvények fogalma. Nevezetes szögek szögfüggvényei. Egyszerű összefüggések a szögfüggvények között, egyszerű trigonometrikus egyenletek. Szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása.
	Koordináta-geometria	Egyenes egyenlete. Kör egyenlete. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör adott pontjába húzott érintőjének egyenlete.
5. Valószínűségszámítás, statisztika
	Leíró statisztika		Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram). Gyakoriság, relatív gyakoriság. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz). Szórás.
	Valószínűségszámítás		Relatív gyakoriság, valószínűség. A valószínűség klasszikus kiszámítási módja. Visszatevéses mintavétel, a binomiális eloszlás.